間違った方向に進んできたのか？

なぜ時間があるのか？ なぜ時間は１次元だけなのか？ 物理学を学び始めた人はこういう問いをもつことがあるかもしれない。特殊相対性理論まで学ぶとなおさらだ。時間と空間は単純に分離できるものではなくからみあっている。そのからみ方は、時間だけを虚数にとってみると、ちょうど空間をそのまま４次元に拡張したときの（４次元の）回転対称性を見ているかのようだ。もともとすべてが空間だけだったら、いろんな物理法則はもっとすっきりして見える。

現在の格子QCD計算の抱える問題の多くは、理論のなかの時間を虚数に取ったところに根っこがある。そうすることで、４次元の回転対称性で理論が簡単になるだけでなく、モンテカルロ法による数値計算が可能になるという決定的なメリットがあってやっていることなので、一概に問題というわけではない。それに、複素関数の解析性という魔法のような性質があるおかげで、虚数だった時間を実数に戻すことは原理的にはできる。「原理的には」というのは便利な言葉で、すべてが完璧だったときというあり得ない想定の話をしている。つまり、格子間隔をゼロにとる極限が無限によい精度で得られたという想定だ。解析関数が変数の実軸上であたえられたら複素平面上に拡張していくことができるので、虚軸上での値もわかり、つまりこれが実時間に相当する。もちろんこれは関数が連続的に、かつ厳密にわかっているときにできるのであって、数値計算を必要とする格子QCDでは望むべくもない。そこからいろんな問題が出てくる。理論の一番基礎になるところが問題なので、根本的に解決するにはすべてを基礎から作り直すしかない。だから量子計算だ、という話になるのだが、道ははるかに遠く、QCDの計算に使えるのはいつになるか見当もつかない。

虚時間の何がそんなにいけないのか、少し考えてみよう。量子力学では、波動関数の時間発展は複素数の位相回転としてあらわされる。回転の速さは、その波動関数があらわす状態のエネルギーに比例する。だから、決まったエネルギーをもった状態なら話は簡単で、決まった速さで位相がくるくる回るわけだ。だが、量子力学では複数の状態が重ね合わせになって同時に存在することができる。そのときの波動関数は複数の波動関数の和であらわされる。複数の状態が別々のエネルギーをもっていると、時間発展による位相の回転は状態ごとに別の速さになるので、位相の回転がそろわず、ちょうど波のうねりのように互いに強めあったり打ち消しあったりを繰り返す。さらに状態の数を増やすともっとめちゃくちゃになり、最終的には無限個の状態を重ね合わせるので、もはや位相の回転なのかどうかすらよくわからなくなるだろう。

こういうめちゃくちゃな時間発展が与えられたときに、個別のエネルギーを抜き出すにはフーリエ解析という手法を使えばよい。音を周波数ごとに分離したり、光を波長ごとに分離するのと同じ話だ。知りたい周波数の波を重ね合わせて共鳴する部分を取り出す。十分に長い時間にわたって波動関数がわかっていれば、これは必ずできる。

問題はこれが虚時間になったときだ。以前にも一度説明したが、虚時間では複素数の位相回転は起こらない。波動関数の位相は動かず、ただ減衰するのみ。その減衰の速さがエネルギーに比例する。エネルギーの高い状態は速く減衰し、低い状態はなかなか減衰せず残る。格子QCDで得られる波動関数とはこういうものだ。ここから個別のエネルギーの状態を抜き出すにはどうすればいいだろうか。フーリエ解析のように波を重ね合わせて共鳴を調べるのでは無理だ。そもそも、エネルギーが少しだけ異なる状態は減衰の速さが少し違うだけなので、重ね合わせてしまうと分離するのはもはや困難だ。唯一可能なのは、エネルギーのもっとも低い状態を取り出すこと。減衰がもっとも遅いので、長い時間待っていれば他の状態がすべてなくなって、エネルギーの低い状態だけが残る。格子QCD計算でやっているのは主にこういうことだ。

それの何が問題なのか。もう一度 K中間子の崩壊を考えてみよう。パイ中間子２個に壊れる。パイ中間子２個ができて互いに逆方向に勢いよく飛び出していくとき、そのエネルギーの合計が元の K中間子の質量に相当する値になっている。エネルギーの保存則だ。ところが、虚時間ではエネルギーの保存則というものはない。おかげで、いろんなエネルギーの状態が全部出てくる。その中には現実の場合よりもパイ中間子のもつ運動量が小さく、そのエネルギーの合計が K中間子の質量よりも小さいものもある。極端な話、できた２個のパイ中間子が運動量を持たない、つまり静止していることも可能で、この状態がもっとも小さなエネルギーをもつ。格子計算は、これを含むいろんな状態がすべて現れることになる。その中からエネルギーがちょうど K中間子の質量に等しいものを選び出すことができれば、現実の K中間子崩壊を計算したことになるのだが、さっきも言ったように、これが難しい。エネルギー最低の状態に埋もれてしまい、必要なものが見えなくなってしまうからだ。

他の奴らが消えるまで待て

音楽家は楽譜を見るとすてきな音楽が頭の中で鳴り響くという。物理学者たるもの、数式を見るとすぐに物理現象が生き生きと想像できるはずだ。残念ながら私の場合はそうではない。もう長くやっているので、クォークがどんなものか頭の中にイメージができつつあるが、ずいぶんぼんやりしている。このぼんやりしたイメージを文章にしてみたい。どうなるだろうと思いながら書いてきた。案の定とてもごちゃごちゃした話になってしまった。私のイメージもやはりごちゃごちゃしているということか。

前回まで、クォークが真空中を伝わっていくようすを紹介してきた。 グルーオン場がつくるでこぼこの中を、クォークの場がときには勢いよく、ときにはひっかかったりしながら拡がっていく。背景のグルーオン場はランダムに突き動かされ、それら全部を合わせたものが最終的なクォークの波動関数を与える。本稿の目的はK中間子崩壊の計算をするというのはどういうことか、なぜ難しいのかを解説することだ。そこに話を戻そう。

K中間子をつくるダウン・クォークとストレンジ・クォークは、少しだけ質量の異なる別の粒子だ。だから、真空中の伝わりかたも微妙に異なる。これらのそれぞれが計算できたら、両者を組み合わせてK中間子をつくる。組み合わせるというのは、ダウン・クォークの場に、ストレンジ・クォークの場の複素共役（反粒子に相当する）を掛け合わせることだ。ただし、両者がもつスピンが逆向きになるものを掛け合わせないといけない。間違えるとK中間子ではなく、スピンの異なるK*中間子ができてしまう。とにかくこうして、K中間子の「場」ができた。クォークの場を２枚もってきて、片方を裏返してホッチキスで留めたようなものだろうか。

ただし、ここで一つ重大な間違いがある。K中間子の「場」と言ったが、これはK中間子のみをあらわすものではない。K中間子と同じ内容物（ダウン・クォークと反ストレンジ・クォーク）をもち、K中間子と同じスピン（この場合スピンはゼロ）をもった粒子は、なんでもこの場のなかに含まれている。現実の世界では何に相当するかというと、K中間子よりも質量、つまりエネルギーの大きい、数多くの励起状態のことだ。励起状態のなかには角運動量が異なるものもいろいろあるが、そのなかで同じ角運動量をもつものすべてということになる。実験できれいに見つかった状態もあるが、多くは複数の中間子が互いに飛び交うような散乱状態で、まあ要はめちゃくちゃな状態ということになる。K中間子の「場」はこういうすべての状態を表したものになっている。K中間子は、そのなかでエネルギーが最低のものを指すわけだ。

いろんな状態のなかからねらった状態だけを抜き出すのは、それなりに難しい。量子力学の波動関数は時間とともに位相が回転する。振動すると言ってもよい。振動数がその状態のエネルギーをあらわす。であれば、使うべき道具はフーリエ解析だ。さまざまな振動数がまざった波から狙った振動数のものを取り出すには、フーリエ変換してしまえばよい。ところが、覚えておられるだろうか、この計算では時間を虚数にしてしまっている。おかげで波動関数は振動ではなく減衰する。減衰する速さからエネルギーを読み取る必要がある。これではフーリエ解析は使えない。ただ幸いなことに、エネルギー最低の状態だけはうまく取り出すことができる。他の状態はより速く減衰するので、それを待てばよい。つまり、虚時間で十分に時間がたったときの波動関数を取り出せば、これが欲しかったK中間子の状態だ。

 

振動か減衰か

 複素関数論というのは、いくつになっても本当にわかった気がしない。理屈はわかるんだけど、そこから出てくる結論があまりにアクロバットな感じがして得心しないと言うべきだろうか。コーシー積分がなぜああなるのかを頭の中に絵のように思い浮かべて納得できる人はいるのだろうか。それと同じように、振動をあらわす三角関数と減衰をあらわす指数関数が同じ関数の２つの側面だというのも突飛すぎてなかなか想像できない。陳腐な言い方だが、数学ってすごい。

場の量子論ももちろん数学を使って書かれているので、こういう性質をめいっぱい使うことになる。もうずっと前に学んだときから今に至るまで、本当にわかった気がしないことに、「ウィック回転」というのがある。時間を虚数に取り替えていろんな量を計算しても、最後にもう一度虚数から実数に戻せば正しい結果が得られるという話だ。たいていの教科書ではそういうものだということでさらっと通り過ぎるので、皆あまり深く考えずに使っていたりする。私も最近になってようやくその意味が少しずつわかってきた気がしている。たぶんかなり遅い方だろう。

クォークやグルーオンの波をあらわす「場」があるという話をした。ディラック方程式というのを解くと、電子やクォークの波に相当する関数が出てくる。電子が実際に波だというのは、（惜しくも亡くなられた）外村彰先生が電子顕微鏡の実験で示された通りだ。現実の世界はそれでいい。ところが、格子理論での計算というのはすべて時間を虚数に取り替えた「虚時間」というのでやることになっている。これだと波の振動をあらわす三角関数が、減衰をあらわす指数関数になってしまう。だから、格子理論の計算では振動する「波」は出てこない。すべては減衰するのみだ。

虚時間を取ると、時間と空間の区別がなくなる。空間3次元と時間をもつ世界は、虚時間にすると単に空間4次元の世界になる。4次元空間のなかでクォークはグルーオンが作り出すランダムな山や谷の間を拡がっていくわけだが、これはクォークの「波」というよりも、むしろ水に落としたインクが水の中を広がっていくのをイメージしたほうがよい。クォークは4次元の空間の中を拡がっていく。もはや時間と空間の区別はない。全方向に拡がるのみだ。

空間の１点にストレンジ・クォークと反ダウン・クォークの種を置くと、どちらも拡がっていく。離れた別の点で再びストレンジ・クォークと反ダウン・クォークのペア測定してみると、元の点からの距離に応じて減衰していくだろう。２つのクォークは、途中では空間のいろんな場所を通って拡散してきたのだが、それがまた同じ点に戻る様子を観測することになる。距離に応じて減衰していく関数。この距離が虚時間だったことを思い出して、元の時間に戻してみよう。すると減衰する関数は、時間とともに振動する関数に戻る。これが量子力学ででてくる波動関数の時間発展に相当する。量子力学では、波動関数は複素数であらわされ、その位相が時間とともに回転する。その振動数がエネルギーに対応するわけだ。つまり、4次元空間中のクォークの拡散の様子を調べると、K中間子のエネルギーが読み取れることになる。エネルギー、つまり質量のことだ。