クォークのケン、ケン、パ！

週末に外を散歩していたら、道路にチョークで「ケン・ケン・パ」の丸がいくつも書いてあることがある。近頃は子供もオリジナリティを増していて、単なる丸ではなく、花や女の子など、いろんな絵がカラフルに描かれている。道路いっぱいに描かれた絵も時間が経って雨が降ると消えるのが残念だ。

クォーク場が拡がるとき、空間に巻きついたインスタントンに出会うと、すっと吸い込まれてスピンの向きを変えて出てくる。必要なエネルギーはゼロなので、何もロスなしに拡がることができる。そういう話だった。では、もしインスタントンがそこら中にいっぱいあったらどうなるだろうか？ クォークはインスタントンと反インスタントンがばらまかれた空間を、上手にインスタントンを渡り歩きながらどんどん遠くまでロスなしに伝わることができるだろう。遠くまで減衰することなく伝わる場。つまり、それに対応する粒子は軽いことを意味する。これこそが、クォークの立場で見た「パイ中間子が軽い理由」だ。

しかし、まだわからないことがある。なぜパイ中間子だけが軽いのか。クォークがインスタントンを渡り歩くだけなら、クォーク自体が軽く、それからできる中間子はすべて軽くならないとおかしい。この疑問に対する解答は、スピンにある。インスタントンを同時に通り抜けられるのは、クォークの種類１つにつき１個だけ。しかも、右巻きのクォークか左巻きの反クォークのどちらかだけが通ることができる。（反インスタントンはその逆。）つまり、クォークが通過中は同種類の反クォークが通ることはできない。かつ、クォークと反クォークでは受け付けるスピンの向きが逆であることに注意しよう。だから、一つのインスタントンを揃って通り抜けられるのは、例えば右巻きのアップ・クォークと左巻きのダウン・クォーク、ということになる。これはちょうど荷電パイ中間子に相当する。クォークと反クォークのスピンが逆向きになっているので、パイ中間子のスピンはゼロだ。この組み合わせなら、クォークと反クォークはそろってインスタントンの間をどこまでも飛び移っていくことができる。軽いパイ中間子のできあがり、ということになる。

もう一つ、ロー（ρ）中間子というのがある。これはスピン１をもつ中間子で、クォークと反クォークのスピンがそろっている。この場合、かわいそうにクォークと反クォークは同じインスタントンを経由することはできず、一度別れて別々のインスタントンと反インスタントンを探して通り、また出会う必要がある。これは中間子にとっては相当のペナルティになる。そういうわけで、ロー中間子はずいぶん重くなってしまうわけだ。

どうだろう。自発的対称性の破れの背後には、こういう仕組みが働いているらしい。これならクォークの気持ちになって理解できた気がしないだろうか。残る問題は、実際にこういうインスタントンはこんなふうに空間に散らばっているかどうか、ということになる。

すべてはここから

素粒子の相互作用を理解すれば、自然界の森羅万象はすべて計算してみせることができる。 ずっと昔にどこかでそういうことを言ったら、"More is different" を知らないのかと叱られたことがある。素粒子理論を研究している人は、どこかで原子核物理や物性理論を格下に見る意識がある。素粒子以外は、所詮どうやって計算するかという問題でしょ、というわけだ。それはある意味で正しいのだが、実現可能性という意味ではまったく話にならない。たとえ将来、量子コンピュータが実用化されたとしても、フェムト・メートル以下のスケールで本当の量子論が働いている自然界をすべて模倣するわけにはいかないのは当然のことだ。格子QCD計算では、いまようやく陽子（あるいは中性子）２個の世界の計算に四苦八苦している。実のところ、陽子１個でも問題は山積みだ。問題に応じて適切な自由度を探し出して近似する、そういう物理学の本質が無用になる時代はやってこないだろう。

 グルーオンがあちこちに山や谷をつくった4次元空間の中を、クォーク場が拡がっていく。ただし、背景にあるグルーオン場はこれ一つではない。量子論の原理にしたがってありとあらゆる地形をつくる。最終的にはそれらをすべて足し合わせたものが「真空」の波動関数をあらわすことになる。「真空の波動関数って何のこと？」と思われるかもしれない。「真空」という言葉の問題かもしれないが、ここで真空と呼んでいるのは単にエネルギーがもっとも小さくなる状態のことだ。水素原子の問題だったら、電子が一番下の軌道に落ち込んだときにエネルギーが最低になり、そのときの波動関数は中心に球形に拡がる。いま考えている真空の波動関数というのもこれに似ていて、空間全体に拡がるグルーオン場がエネルギー最低の状態を作ったときの「波動関数」のことだ。ただし、水素原子のときのようにある決まった形があるわけではなく、いろんな変な形をしたものを重ね合わせたものになっている。無限個の重ね合わせなので想像するのは難しい。

こういう変な背景のなかで拡がっていくクォーク場には何が起こるだろうか。まずわかるのは、クォーク１個だけの拡散は、背景のグルーオン場をすべて足し合わせていくとゼロになってしまうということだ。ちょっと想像しがたいかもしれないが、グルーオン場がつくる山や谷は正負だけでなく複素数でいろんな値をとる（正しくは SU(3) という複素数の行列に値をとる）。複素数の位相がランダムに回転したものをすべて足し合わせていくといずれゼロになってしまうが、それと同じ理屈だ。クォーク場は拡がっていくが、背景の波動関数をすべて考慮するとゼロ。つまり、真空のなかではクォークが伝わっていく確率はゼロということになる。クォークは単独では存在できない。過去にいくつもの実験で分数電荷をもつクォークを見つけようとしたが、誰も成功しなかった。量子色力学という理論では、このことはランダムなグルーオンの背景場によって説明される。

それでもK中間子は存在する。なぜだろうか。中間子というのはクォークと反クォークが結びついたもののことだ。反クォークをあらわすにはクォーク場の複素共役をとればよい。ある複素数とその複素共役をかけると、絶対値の２乗になって必ず正の数になる。正の数はいくら足してもゼロになることはない。１つのクォークは存在できないのに中間子が存在する事実はこうして説明される。グルーオンの背景のなかでクォーク場は実際に拡がっていく。ただし、グルーオンの背景場をすべて足し合わせた真空中で生き残るためには、反クォークとセットになっている必要があるわけだ。

（もう一つ変なのがあった。クォーク３個でできている陽子と中性子だ。これは複素数だと考えていては説明できない。SU(3)という３行３列の複素行列の性質を考えないといけないのだが、それはいずれまた機会のあるときに。）

「クォークの閉じ込め」という性質がある。クォークは陽子・中性子や中間子のなかに閉じこもっていて決して単独で外に出てくることはない。不思議な性質だが、こうして考えてみるとそれほど変には感じないと思うがどうだろうか。量子色力学という理論のなかでは自然に説明されていて、もはや謎ではない。

とにかくこうして、真空中を飛ぶK中間子を計算できるようになった。K中間子だけではない。いろんなクォークと反クォークを組み合わせた中間子は、すべてこうやって計算できる。クォークは（ある単位で） +1/2 と -1/2 のスピン（自転のこと）をもつので、その向きに応じていろんな組み合わせができる。プラスとマイナスを組み合わせてゼロになったもの（パイ中間子やK中間子など）、プラスとプラスを組み合わせて全体がスピンを持つもの（ロー中間子や K* 中間子など）や、クォークと反クォークが互いの周りを回転しているものを考えてもよい。中間子はそれこそ何十個も見つかっているが、それらは例外なくこうして真空中を拡がっていくクォーク場を組み合わせて計算できるのだ。

荒波のなかを漕ぎ出すクォーク

ファインマン・ダイヤグラムというのがある。クォークが飛んできてグルーオンを放出し、そのグルーオンを他のクォークが吸収してまた飛び去る様子を矢印のついた線や波線であらわす。場の量子論の摂動計算は、このダイヤグラムを描いて対応する数式を当てはめていけばできるというとても便利なものだ。毎日こういう図を見ていると、実際のクォークもこんなふうにグルーオンを「キャッチボール」して力を及ぼしあっているというイメージを持ってしまうのだが、これは現実に起こっていることのイメージとしてはいまいちだ。じゃあ実際はどうかと言われると、それはなかなかやっかいなのだが。

グルーオンをあらわす場をランダムに揺らすことで量子論を反映できるという話をした。空間中に広がった場の各点ででたらめに揺れるグルーオンの「場」ができあがった。これを無限にくり返して平均すると、量子化が完成する。これが、グルーオンのつくる「真空」ということになる。まだ何もなく、ただでたらめに揺れるグルーオン場だけがある。ここにクォークを飛ばすとどうなるか。

何もない空間にクォークを生成するにはタネをまく必要がある。このタネは強い力の理論である量子色力学とは別のところにあると思うことにしよう。反ストレンジ・クォークとダウン・クォークを作るタネ（生成演算子という）を空間の一点に置いてみる。そうすると、クォーク場のしたがう方程式（ディラック方程式のことだ）にしたがってクォーク場が広がることになる。ディラック方程式というのは、シュレーディンガー方程式を拡張したもので、要は波を表すような方程式だ。一点にタネを置くと、そこを中心にして波が広がっていく。池に石を投げ込むと波が円を描きながら広がっていく、あれと同じことだ。違うのは水面が平らではないこと。グルーオンをあらわす場はかなりでたらめに揺らいでいる。静かな池というよりも台風に襲われた外海の荒波というべきだろう。そこにタネをまくと、荒波に負けずにクォーク場が広がる。ただし、今度はきれいに円を描いて進むわけにはいかない。あっちこっちにある山や谷に引っかかったり落ち込んだりしながら進むことになる。遠く離れたところで、反ストレンジ・クォークとダウン・クォークの波がどれだけ伝わってきたかを調べてみれば、それがすなわち K 中間子を見ることに相当する。ただし、先にも話したとおり、背景になるグルーオン場はこれ一つではなく、さらにランダムに揺すぶられて変化していく。それらをすべて含めたものが K 中間子をあらわすわけだ。

クォーク場は方程式にしたがって広がると言った。あれ？ 量子化によってクォーク場もグルーオン場と同じようにランダムに揺さぶられるんじゃないの？ と思った人は非常に鋭い。上記では、クォークが勝手に生まれたり消えたりする量子論による効果が取り入れられていない。クォークの数は保存するので、正しくはクォークと反クォークが対を作って生まれたり消えたりするはずなのだが、それが無視されている。当面、量子化の一部をさぼってイメージをつくっていくことにしよう。クォークは単に空間を広がっていくのだ。