アノマリーと右巻き・左巻き

もう少しアノマリー（量子異常）について考えてみたい。

量子電磁力学(QED)には、電荷の保存という際立った性質がある。電子がもつ電荷は、電子が飛んでいる間に増えたり減ったりしない。唯一の例外は、反粒子（つまり陽電子）と出会ったときで、電子と陽電子は対消滅して消えてしまう。これとて、電子の電荷を−Q、陽電子の電荷を+Qと呼ぶことにしておけば、両者を足したもの −Q +Q = 0 は変わらないので、電荷の保存はやはり成り立っている。何をあたりまえのことを、と思われるだろうか。ちょっと違う量を考えるとあたりまえでなくなる。右巻きの電子の数から左巻きの電子の数を引いた数を考えてみよう。電子の走る進行方向に対して、電子の自転（スピンともいう）がどちら向きかを考えると右巻きと左巻きに分けることができるので、その差はどうなるかという問題になる。ちなみに和のほうは電子の数なので、電荷と同じで保存する。さて、右巻きと左巻きの数の差だが、これは電子が質量をもっていると保存しない。質量とは右巻きを左巻きに、左巻きを右巻きに入れ替える効果のことなので、これは仕方ない。では、質量ゼロの電子を考えてみよう。右巻きと左巻きの差は保存するだろうか。

そもそも電磁相互作用には、電子の自転の向きを変えないという性質がある。電子がクーロン相互作用で他の電荷から力を受けても、右巻きは右巻きのまま、左巻きは左巻きのままにとどまる。そういう意味で、右巻きと左巻きの差はやはり保存する。ちょうど電荷の保存と同じことで、もし電子の質量がゼロなら右巻きと左巻きはあたかも別々の粒子であるかのように、それぞれの数が保存することになる。ただし、アノマリーさえなければ。

ここに前回紹介したアノマリーが登場する。電子を、ある特別な電場と磁場のなかに置いてやると、アノマリーのおかげで右巻きが左巻きに移ることがある。これは量子効果であって、通常の電磁気学（マックスウェル方程式）のままでは起こらない。量子化したときに発散を取り除く操作をしたときに出てくるのがアノマリーだが、それが電子の回転する向きを変えることになる。これは角運動量を変えることになるので、背景の電磁場がその角運動量を供給してくれないといけない。こういうことが起こるのは電場と磁場が並行にそろったような特別な場合なのだが、それは細かい話だろう。覚えておくべきことは、アノマリーは右巻きと左巻きを混ぜるということだ。

ここで、「あれ？ 右と左を混ぜるということは、質量を与える効果と同じじゃない？」と思った読者は非常に鋭い。QED の真空には背景電磁場は何もないので、アノマリーを通じて真空中で何かが起こるわけではない。一方、クォークが関係する量子色力学(QCD)では話が違ってくる。以前にも紹介したように、真空中はQCDのゲージ場（グルーオン場）で沸きたっている。グルーオン場は、電磁気学での電磁場に相当するものなので、要は真空中に電磁場みたいなものがいっぱい沸きたっているということになる。その中にはアノマリーに効くような特殊なものもあるので、ちょうどそういうグルーオン場に遭遇したクォークは、右巻きから左巻きに、あるいは左巻きから右巻きに変わることができる。これは、クォークに質量が生まれたのと同じことだ。つまり、クォークはアノマリーを通じて質量を獲得できる。そして、この「特殊な」グルーオン場というのが、実は以前にも紹介した「インスタントン」というやつだ。

クォークが質量をもつことと、η’粒子が大きな質量をもつことは、似ているようで異なる。 一方は、クォークの右巻きと左向きが入れ替わる話なのに対して、もう一方は、クォークが反クォークとペアになって消えてしまい、グルーオン場だけが残ったような何かだからだ。いずれにしてもQCDのゲージ場の存在、しかもインスタントンという特殊なグルーオン場が鍵を握ることになる。

沈殿か、沸騰か

南部陽一郎は一般向けの著書『クォーク』のなかで自発的対称性の破れについて解説し、真空にクォークが沈殿する、と語った。（私の記憶に頼って書いているので要確認。）クォークがそこら中にたまっているのがこの宇宙の真空だという。真空という言葉がいけないのかもしれない。どうしてもなにもない空っぽというイメージをもってしまうが、そうではない。本当の問題は、あらゆる状態のなかでエネルギーが最低になるものはどれか、ということだ。エネルギーがそれ以上下がらないので、そこからはもうエネルギーをくみとることはできない。たとえそこにクォークが沈殿していたとしても。

前回まで話してきたことは、クォークの「沈殿」とはずいぶん話が違うようだ。グルーオンの背景場のなかには空間にからみついたものがあり（インスタントンと呼ばれる）、クォークはそこを通るときにはエネルギーのペナルティを払わなくてよい。そういうのが空間のいたるところにあると、クォークはインスタントンの島を渡りながら遠くまで飛ぶことができる。ただし、実際の粒子として遠くまで飛ぶ、つまり軽いものはパイ中間子だけで、他はそうはいかない。クォークと反クォークが別の島を探して飛び移る必要があるので、どうしてもペナルティを受け、遠くまで飛べない。つまり重くなってしまう。そういう話だった。空間にはインスタントンがいっぱい沸いては消える。どちらかというと沸騰しているかのようだ。

実は、この両者は同じことを表している。量子色力学（QCD）ではグルーオンの背景場が重要になるのだが、その効果をすべてならして（平均して）しまうと、クォークが沈殿しているという解釈もなりたつ。沸騰するグルーオン場の個別の様子が細かすぎて見えないほど遠くからみればそうなるということだ。こういう平均化の操作は、物理学ではしばしばあらわれる。すべてを細かくみなくても、全体をざっくりと見てまず理解するというのが有効だからだ。

さて、沸騰するグルーオン場の様子は、実のところ理論的に計算するのが非常に難しい。だから、ここまで話してきた解釈は、もっともらしい「お話」でしかなく、それで何かを計算できるわけではない。実際に計算するには数値シミュレーションが必要になる。それが格子QCDシミュレーションだ。シミュレーションをやってみると、グルーオンが沸騰するようすが確かに再現される。ただし、見つかったのは想定されていたようにきれいに巻きついたインスタントンではなく、もっとぐちゃぐちゃで、それでもよく調べてみると空間に巻きついているような何かだ。そういうのが空間を埋めつくす。沸騰といっても、相当温度が高くてぐらぐら煮えたぎった状態を想像してほしい。こうした「めちゃくちゃ」は実のところ必要なことでもある。クォークの閉じ込めはランダムなグルーオン背景場がもたらすという話を以前にしたことがある。 整然としたきれいなインスタントンだけではそうはならない。

シミュレーションを使えば、こうしためちゃくちゃに見えるグルーオン場のなかにどれだけ「巻きつき」が隠れているかを数え、その大きさを定量的に調べることもできる。この数が、自発的対称性の破れの大きさを与えることになる。こうして得られた結果は、さまざまな実験データから導かれる評価とよく一致している。現在ではむしろ、シミュレーションこそが量子色力学の真空の様子をもっとも正確に、精密に調べる手段になっている。いくら実験をくりかえしてもわからないことも、シミュレーションなら手に取るように調べることができるわけだ。

沸騰するグルーオン場の海を飄々とすりぬけていくクォーク。しかし決して単独であらわれることはない。その背景を想像していただけただろうか。

トポロジカル ... ?

もう10年以上も前になるだろうか、ノーベル賞を期待されながら惜しくも亡くなられた外村彰先生が、日立製作所の中央研究所にセミナーに呼んでくださったことがある。量子色力学の数値シミュレーションでゲージ場の様子を調べるという研究をしていたので、もしかしたらご自分の研究と関係あるかもと思ってくださったのかもしれない。外村先生は電磁気学のベクトルポテンシャルが実在することを電子顕微鏡で実際に示す実験をなさった。量子色力学もゲージ理論という意味では親戚なので、同じことができるかもと思われたのかもしれない。残念ながらそうはいかなかった。

パイ中間子が軽いのは、自発的対称性の破れのせいだ。それはいい。でも、クォークの立場で見ると何がどうなっているのだろうか。クォークは、グルーオンがつくるでこぼこの地形のなかを拡がっていくという話をした。だから、クォークが軽くなったり重くなったりするのは、背景のグルーオン場に原因があるに違いない。ただし、軽くなるのはパイ中間子だけで、他の中間子や陽子・中性子は重いままだ。クォークにいたっては単独で出てこられないので軽いも重いもない。いったいどうなっているのか。これには実は深い話がある。それを説明するには、まずはグルーオンのつくるトポロジーの話をしないといけない。

これまで触れずにきたが、クォークは「色」という自由度をもっている。赤、青、緑を自由な濃さ（ただし複素数）で組み合わせることができる、ある種の3次元的な内部自由度をもっていると考えればよい。これに対応して、グルーオンはクォークの色を自由にかき混ぜる役割をもつ。グルーオン場の上をクォークが通り過ぎると、その色がかき混ぜられる。色の混ぜ方を一般的にあらわすと８つの自由度に相当する。だから、８つの連続的な自由度をもつ内部空間が、空間の各点ごとに隠れているというわけだ。しかもこの内部空間はまるで球面のように閉じた構造をもつ。球面は２次元だが、ここでは８次元あると想像してほしい。相当複雑だが、それでも球面のようなものを想像しておけばよい。

それがトポロジーとどう関係あるのか。８次元を同時に考えるとややこしいので、簡単な例で想像してみることにしよう。内部自由度が１次元で、それが閉じて円周になっている場合を考える。 こういうのが２次元平面にびっしりと敷かれていると考えよう。方位磁針を机の上に隙間なく並べたようなものだ。針の向きはてんでばらばらのときもあれば、みんなが同じ向きになることもあるだろう。実際には方位磁針は連続的に敷きつめられていて、隣の針から大きくずれることは許されないとしよう。そうすると針の動きが波のように平面を伝わっていくこともあるだろう。物性の世界ではこういうのをマグノンと呼んだりする。

ひとつのおもしろい可能性は、この平面の上から棒磁石のＳ極を近づけたときに起こる。赤い矢印は磁力を感じていっせいにこの磁石のほうを向き、全体を見ると針が放射状に分布するだろう。これはただの波ではない。どこが違うかを調べるために、棒磁石を近づけた場所を中心に、ぐるっと輪を描いて一周してみよう。針がどちらを向いているかを注意しながら一周すると、針の向きも一回転して元に戻ることがわかる。一方で棒磁石の周りを回らずに別の場所で一周しても、針の向きは一回転しないで元に戻る。中心があるかどうかはこうして調べることができる。こうしていったん中心ができてしまうと、針を連続的に動かしてこの一回転を取り消すことはできない。中心がある場合とない場合は、このように明確に区別される。こういうのを数学の言葉でトポロジカルに異なる、と言う。

話が長くなってしまった。グルーオン場に戻ろう。グルーオン場は８次元の自由度をもっている。住んでいる空間は４次元だ。この場合も、同じようにどこかに中心があるかのようなグルーオン場をつくることができる。これは単なる波ではない。どこかに中心があって決してほどけないような、トポロジカルなグルーオンだ。誰が呼んだか、こういうのをインスタントンと呼ぶ。日本語では「瞬間子」だろうか。中心があって、ある瞬間に生まれてまたすぐに消えるからそう呼ばれるのだろう。まるで一つの素粒子のような名前だが、決して実際に観測されることはない。

グルーオン場は単に波打っているだけでなく、このように空間に「巻きつく」こともある。だからどうしたと思われるだろう。それはまた次回にしよう。

すべてはここから

素粒子の相互作用を理解すれば、自然界の森羅万象はすべて計算してみせることができる。 ずっと昔にどこかでそういうことを言ったら、"More is different" を知らないのかと叱られたことがある。素粒子理論を研究している人は、どこかで原子核物理や物性理論を格下に見る意識がある。素粒子以外は、所詮どうやって計算するかという問題でしょ、というわけだ。それはある意味で正しいのだが、実現可能性という意味ではまったく話にならない。たとえ将来、量子コンピュータが実用化されたとしても、フェムト・メートル以下のスケールで本当の量子論が働いている自然界をすべて模倣するわけにはいかないのは当然のことだ。格子QCD計算では、いまようやく陽子（あるいは中性子）２個の世界の計算に四苦八苦している。実のところ、陽子１個でも問題は山積みだ。問題に応じて適切な自由度を探し出して近似する、そういう物理学の本質が無用になる時代はやってこないだろう。

 グルーオンがあちこちに山や谷をつくった4次元空間の中を、クォーク場が拡がっていく。ただし、背景にあるグルーオン場はこれ一つではない。量子論の原理にしたがってありとあらゆる地形をつくる。最終的にはそれらをすべて足し合わせたものが「真空」の波動関数をあらわすことになる。「真空の波動関数って何のこと？」と思われるかもしれない。「真空」という言葉の問題かもしれないが、ここで真空と呼んでいるのは単にエネルギーがもっとも小さくなる状態のことだ。水素原子の問題だったら、電子が一番下の軌道に落ち込んだときにエネルギーが最低になり、そのときの波動関数は中心に球形に拡がる。いま考えている真空の波動関数というのもこれに似ていて、空間全体に拡がるグルーオン場がエネルギー最低の状態を作ったときの「波動関数」のことだ。ただし、水素原子のときのようにある決まった形があるわけではなく、いろんな変な形をしたものを重ね合わせたものになっている。無限個の重ね合わせなので想像するのは難しい。

こういう変な背景のなかで拡がっていくクォーク場には何が起こるだろうか。まずわかるのは、クォーク１個だけの拡散は、背景のグルーオン場をすべて足し合わせていくとゼロになってしまうということだ。ちょっと想像しがたいかもしれないが、グルーオン場がつくる山や谷は正負だけでなく複素数でいろんな値をとる（正しくは SU(3) という複素数の行列に値をとる）。複素数の位相がランダムに回転したものをすべて足し合わせていくといずれゼロになってしまうが、それと同じ理屈だ。クォーク場は拡がっていくが、背景の波動関数をすべて考慮するとゼロ。つまり、真空のなかではクォークが伝わっていく確率はゼロということになる。クォークは単独では存在できない。過去にいくつもの実験で分数電荷をもつクォークを見つけようとしたが、誰も成功しなかった。量子色力学という理論では、このことはランダムなグルーオンの背景場によって説明される。

それでもK中間子は存在する。なぜだろうか。中間子というのはクォークと反クォークが結びついたもののことだ。反クォークをあらわすにはクォーク場の複素共役をとればよい。ある複素数とその複素共役をかけると、絶対値の２乗になって必ず正の数になる。正の数はいくら足してもゼロになることはない。１つのクォークは存在できないのに中間子が存在する事実はこうして説明される。グルーオンの背景のなかでクォーク場は実際に拡がっていく。ただし、グルーオンの背景場をすべて足し合わせた真空中で生き残るためには、反クォークとセットになっている必要があるわけだ。

（もう一つ変なのがあった。クォーク３個でできている陽子と中性子だ。これは複素数だと考えていては説明できない。SU(3)という３行３列の複素行列の性質を考えないといけないのだが、それはいずれまた機会のあるときに。）

「クォークの閉じ込め」という性質がある。クォークは陽子・中性子や中間子のなかに閉じこもっていて決して単独で外に出てくることはない。不思議な性質だが、こうして考えてみるとそれほど変には感じないと思うがどうだろうか。量子色力学という理論のなかでは自然に説明されていて、もはや謎ではない。

とにかくこうして、真空中を飛ぶK中間子を計算できるようになった。K中間子だけではない。いろんなクォークと反クォークを組み合わせた中間子は、すべてこうやって計算できる。クォークは（ある単位で） +1/2 と -1/2 のスピン（自転のこと）をもつので、その向きに応じていろんな組み合わせができる。プラスとマイナスを組み合わせてゼロになったもの（パイ中間子やK中間子など）、プラスとプラスを組み合わせて全体がスピンを持つもの（ロー中間子や K* 中間子など）や、クォークと反クォークが互いの周りを回転しているものを考えてもよい。中間子はそれこそ何十個も見つかっているが、それらは例外なくこうして真空中を拡がっていくクォーク場を組み合わせて計算できるのだ。

荒波のなかを漕ぎ出すクォーク

ファインマン・ダイヤグラムというのがある。クォークが飛んできてグルーオンを放出し、そのグルーオンを他のクォークが吸収してまた飛び去る様子を矢印のついた線や波線であらわす。場の量子論の摂動計算は、このダイヤグラムを描いて対応する数式を当てはめていけばできるというとても便利なものだ。毎日こういう図を見ていると、実際のクォークもこんなふうにグルーオンを「キャッチボール」して力を及ぼしあっているというイメージを持ってしまうのだが、これは現実に起こっていることのイメージとしてはいまいちだ。じゃあ実際はどうかと言われると、それはなかなかやっかいなのだが。

グルーオンをあらわす場をランダムに揺らすことで量子論を反映できるという話をした。空間中に広がった場の各点ででたらめに揺れるグルーオンの「場」ができあがった。これを無限にくり返して平均すると、量子化が完成する。これが、グルーオンのつくる「真空」ということになる。まだ何もなく、ただでたらめに揺れるグルーオン場だけがある。ここにクォークを飛ばすとどうなるか。

何もない空間にクォークを生成するにはタネをまく必要がある。このタネは強い力の理論である量子色力学とは別のところにあると思うことにしよう。反ストレンジ・クォークとダウン・クォークを作るタネ（生成演算子という）を空間の一点に置いてみる。そうすると、クォーク場のしたがう方程式（ディラック方程式のことだ）にしたがってクォーク場が広がることになる。ディラック方程式というのは、シュレーディンガー方程式を拡張したもので、要は波を表すような方程式だ。一点にタネを置くと、そこを中心にして波が広がっていく。池に石を投げ込むと波が円を描きながら広がっていく、あれと同じことだ。違うのは水面が平らではないこと。グルーオンをあらわす場はかなりでたらめに揺らいでいる。静かな池というよりも台風に襲われた外海の荒波というべきだろう。そこにタネをまくと、荒波に負けずにクォーク場が広がる。ただし、今度はきれいに円を描いて進むわけにはいかない。あっちこっちにある山や谷に引っかかったり落ち込んだりしながら進むことになる。遠く離れたところで、反ストレンジ・クォークとダウン・クォークの波がどれだけ伝わってきたかを調べてみれば、それがすなわち K 中間子を見ることに相当する。ただし、先にも話したとおり、背景になるグルーオン場はこれ一つではなく、さらにランダムに揺すぶられて変化していく。それらをすべて含めたものが K 中間子をあらわすわけだ。

クォーク場は方程式にしたがって広がると言った。あれ？ 量子化によってクォーク場もグルーオン場と同じようにランダムに揺さぶられるんじゃないの？ と思った人は非常に鋭い。上記では、クォークが勝手に生まれたり消えたりする量子論による効果が取り入れられていない。クォークの数は保存するので、正しくはクォークと反クォークが対を作って生まれたり消えたりするはずなのだが、それが無視されている。当面、量子化の一部をさぼってイメージをつくっていくことにしよう。クォークは単に空間を広がっていくのだ。

ごちゃごちゃの中に答えはある

秋の涼しいさわやかな空気を満喫しておられるだろうか。せっかくだから風を感じながら野外でのんびり散策など楽しみたい。だが、空気などの気体は、よく細く見てみると小さな分子が互いにぶつかり合いながらめちゃくちゃに動き回っているらしい。さわやかな風からは想像できないが、分子は毎秒１キロメートル以上の高速で飛び回り、私たちの体にぶつかっている。それでも涼しい顔でいられるのは面の皮が厚いからか。

クォークとグルーオンの理論を解きたい。グルーオンは勝手に自己増殖するので、その個数はわからない。何個あるかわからないグルーオンのそれぞれに波動関数があるはずで、そのすべての組み合わせに対応する波動関数をすべて求めるのは無理な話だ。だから、場の量子論の計算では少し違う考え方をとる。まず、すべての波動関数を求めることはあきらめる。その代わりに、実験と比較するために必要な量が求まったらそれで満足しよう。当面それで十分ではある。（将来の量子計算では、この制限はなくせるかもしれない。すべての粒子数に対応する波動関数とその重ね合わせを計算してしまおうという壮大な夢は、あるにはある。）

実際にはどうするか。まずは何もないところから始めるとしよう。「場」の理論なので、空間のすべての点にグルーオンの波をあらわす場の変数が置かれていて、これが振動する。最初はすべての点で何もない、つまり場の変数がゼロだったとしよう。しかし、これは量子論なのでこのままではすまない。量子力学では変数の値を一つに固定しておくことができず、ゆらぎが生ずる。これを実現するにはいろんなやり方があるが、その一つは、空間のすべての点の場の値をランダムに動かしてみることだ。ただし、むやみに動かすわけではない。空間に広がる波の形があまりにトゲトゲになるようなことは起こりにくく、できるだけ滑らかになるものが実現する。これを保証しているのがいわゆる運動方程式というやつで、ランダムなゆらぎさえなければ、場の変数は運動方程式にしたがって秩序だって揺れて波をつくる。池の水面の波のような、予想可能な波だ。量子論では、これにランダムな揺らぎが加わる。しかも空間の各点で別々の揺らぎだ。これが量子力学でいうところの波動関数の広がりを作り出すことになる。

こうして「場」が動き始めた。波打つ場の様子は、実際の時間変化をあらわしているわけではない。単に、量子力学にしたがう揺らぎを作り出すための方便だ。波動関数はそれ自身が実体で、空間に広がった何かだが、今の場合、グルーオンの場の変数自身がすでに空間全体に広がっている。その変数の空間の各点での揺らぎがさらに、あるやり方で幅をもっており、これが量子化による不確定性ということになる。動き続ける場は、その（仮想的な）時間平均を取ると、全体として場の揺らぎを表現する波動関数を与えることになる。

ここにはグルーオンの個数という概念はもはやない。適当に波打ち、変化し続ける場がそこにあるだけだ。その全体がある種の波動関数を与えているということになる。ちょっと難しいだろうか。場の量子論の最初の難関である、「第二量子化」の手続きをだいぶはしょって説明してみた。本当に理解するには分厚い教科書を読む必要があるが、イメージを持つだけならこれで十分だろう。

別の言い方で、ファインマンの「経路積分」というのがある。これも同じことなのだが、空間の各点に置かれた場の変数のそれぞれを、マイナス無限大からプラス無限大まで動かして積分を計算せよという理論で、結果は上記のランダムな場の動きと同じになる。上記のほうが実際に行うシミュレーションに近く、したがって私のイメージにも近いので、そちらで紹介してみた。

だが、まだ何も起こってない。何もない「真空」中をあらわす場がゆらゆらしているだけだ。ここに実際の粒子を飛ばしてみなくてはならない。