ハンデを武器に変える

大学で量子力学を学んだとき、それまでなじみのなかった交換関係とか、波動関数とか、球面調和関数とか、初めて見る数式を追うのに精一杯でなかなかイメージをもつことができなかった。後半に出てくる散乱問題まで来るともう飽和状態で、なんでこんな面倒なことをやらないといけないのかと思ったのを覚えている。よく考えたら素粒子の実験というのはほとんどが散乱問題なので、そこからが本番だったわけだ。

格子QCDでは、クォークの波をシミュレーションして中間子の性質を調べることができる。パイ中間子の質量を計算するというのは、大学院生が最初に練習するもっとも簡単な課題だ。シミュレーションのデータは無味乾燥な数値の羅列だが、その背後に何があるのかについて、これまであれこれと説明を試みてきた。ここからは、パイ中間子を２個置いたときの相互作用をどうやって計算するかという話をしてみたい。

量子力学で２つの粒子の間に力がはたらくときは、両方の粒子を含む波動関数を求めよという話になる。話を簡単にするために、両者が遠く離れたときにはそれぞれが独立な１つの粒子の状態になっていると思うことにしよう。両者が近づいてくると相互に散乱し、また飛び去っていってそれぞれの１粒子の状態にもどる。「状態」というのは何らかの波動関数のことで、例えば運動量が決まった値をとる１粒子の状態は決まった波数をもつ平面波に他ならない。だから、いまの問題は平面波がやってきて、また別の平面波になって遠ざかる様子を調べることだ。（２つの粒子を考えているが、当面は両者の相対的な運動を考えることにして、一つだけの変数の波動関数であらわすことにしよう。）何も起こらないときは、入ってきた平面波と出ていく平面波は同じものになる。もし相互作用があったら、波の伝わる向きが変わることもあるだろうし、もうひとつ重要なことに、波の位相がずれることもあるだろう。こういうのを位相差といって、量子力学で散乱問題を扱うときの基本的な概念になる。

波の位相がずれるとはどういうことだろうか。規則正しく同じ周期で波打ってきたものが、粒子（あるいは波）同士が近づいたとき、相互作用があるせいで周期が長くなったり短くなったりする。また離れると周期も元に戻るが、しばらくのあいだ周期が変わったおかげで、何もなく通り過ぎたときと比べて波の山と谷の位置がずれることになる。これこそが相互作用の結果で、散乱の様子を調べるということは、すなわち位相差を調べることと言ってもよい。

なるほど。では、格子QCDのシミュレーションでも同じように遠くからやってくる平面波を用意して、もう一つの粒子と相互作用し、また遠くに離れていく波を計算してみればよいのではないか。もちろんそれができればいいのだが、そうもいかない事情もある。シミュレーションで扱うことのできる格子は無限に大きいわけではないので、「遠くからやってくる平面波」というのを用意することは無理な相談だ。そもそも、平面波というのは初めから空間全体に広がっているもので、遠くも近くもない。だから、さっきまでの議論は仮想的な無限遠があると思ったときの話で、現実にはそうはいかないのだ。一つの格子のなかに２つのパイ中間子をつくって飛ばしてみると、格子のなかのあちらこちらで勝手に相互作用を始めてしまうので、散乱を扱っているのかどうかすらよくわからなくなる。 

ではどうするか。ここで一つ巧妙なテクニックを使う。格子が有限の大きさの箱であることを使うのだ。通常、有限の箱のなかにクォークを閉じこめるときには、周期的境界条件といって、箱の端っこは反対側の端っことつながっていることにする。１次元だったら円環状のひも、２次元だったらドーナツの表面みたいな感じだが、実際には４次元の箱を考えてほしい。こうして端と端がつながった箱のなかでクォークの波や中間子の波を考えるわけだが、一周したら元に戻ってこないといけないので、波の波長に制限が加わる。箱の長さの整数分の１になっていないといけないということだ。だから、実現できる１個のパイ中間子の状態は、決まったとびとびの波長をもつものだけになる。波長を決めるとその状態の運動量が決まり、運動量が決まるとその状態のもつエネルギーが決まる。つまり、箱の中ではとびとびのエネルギーをもつ状態だけが許されることになる。

２つのパイ中間子を箱の中に入れたらどうなるだろうか。それぞれが周期的境界条件にしたがうので、やはり同じように決まった運動量の状態、そして決まったエネルギーだけが許されるだろう。全体のエネルギーは、パイ中間子１個のときのちょうど２倍になるのではないか。ただし、この箱のなかの２つのパイ中間子の間には相互作用がある。シミュレーションでは、それは勝手に起こるので止めるわけにはいかない。相互作用があると、位相差が生じる。波の位相がずれるとどうなるか、箱の端まで行ったときに箱の反対側の波ときれいにつながらなくなるではないか。だからこの状態はもはや存在できない。その代わりに、もともとの波長が少しだけ違っていて、位相差があるおかげでちょうどうまく端と端がつながるような波だってあるだろう。この波は、もともとあったパイ中間子１個のエネルギーのちょうど２倍とは少しだけずれたエネルギーをもつはずだ。このエネルギーの差は相互作用の結果として生ずる。

パイ中間子２個を一つの箱の中に入れ、そのエネルギーがパイ中間子１個のエネルギーの２倍からずれてきたら、それが相互作用の存在、そして位相差を反映している。このことを使えば、エネルギーの差を読み取ることで、逆に位相差を計算できることになる。位相差が計算できたら、それはつまり粒子の散乱を計算できたことと同じだ。

有限の箱のなかで計算しないといけないという欠点を逆手にとって、有用な情報を引き出すことができる。３０年ほど前に提案されたこの方法は、格子QCDシミュレーションで実際に使うにはあまりに複雑で、かつ精密な計算を必要とするので、本当に役に立つのか当初は疑問に思ったが、いまでは標準的は方法として使われている。それどころか粒子３個を一つの箱の中に入れたときにどうなるかを考えている人もいる。あまりに複雑で使えそうもない気がするが、さて。

パイ中間子を２つ

核力を媒介する粒子ということで湯川秀樹が予言したパイ中間子。宇宙線のなかからそれを見つけたのはセシル・パウエル、戦後まもなくの1946年のこと。というのは何となく学んで知っていたが、パウエルの元で働いて主要な貢献をしたのはブラジル人のセザール・ラッテスだった。実際、発表論文の筆頭著者はラッテスになっているそうだ。ブラジル人のポスドクが教えてくれた。

いまとなっては、パイ中間子は力を媒介する粒子というよりも、クォークと反クォークがくっついてできた数多くある中間子の一つだ。陽子・中性子の間にはたらく力は、クォークとグルーオンが複雑にからみあってできているので、湯川が考えたよりも本当ははるかにややこしい。クォークは一つだけが陽子の外に出てくることはないし、グルーオンもそうなので、そもそも核子（陽子と中性子のこと）の間の力は、両者が接するくらいぎりぎりまで近づかないとほとんどはたらかない。核子の半径は１フェムト・メートル（原子の大きさよりもさらに５桁小さい）くらいで、原子核の中での核子間の距離はその２、３割大きい程度なので、原子核の中では核子同士が実際にぎりぎりに近づいて、くっつきあったお団子のような状態になっている。これくらい短距離での核力を考えるときに、パイ中間子をやりとりしているというのは、なかなかイメージしづらい。そもそもパイ中間子も１フェムト・メートル弱の大きさをもっているので、小さな粒子をやりとりするというよりも、全体を覆う雲のような存在だと思ったほうが実態に近いのだと思う。

さて、それでもとにかく核子の間には核力がはたらく。その実体は、核子の中にいるクォークやグルーオンの交換だ。陽子と中性子がごく近くにいたとしよう。陽子の中の、例えばアップ・クォークを相手の中性子に渡して、代わりにダウン・クォークをもらったとする。すると陽子は中性子に変わるが、相手側の中性子はダウン・クォークを手放してアップ・クォークをもらうので陽子に変わる。結局、陽子と中性子というペアであることに変わりないが、こうしてクォークを交換するときのエネルギーが、何もしないときよりも小さくなるなら両者には引力がはたらくことになる。近づいたほうがエネルギー的に得になるからだ。逆にクォーク交換でエネルギーを余計に必要とするようだと斥力がはたらく、つまり近づきたがらない。おおざっぱに言うと、これが核力がはたらく仕組みだ。クォークを一つずつ交換するというこの様子は、まるで中間子が飛んでいるように見えるので、湯川の考えた核力は、クォーク交換のある種の近似になっている。

核力がはたらくのは核子の間だけではない。中間子の間でもはたらく。中間子のなかにもクォークがあるので、それらを交換することができるだろう。ほかにもグルーオンを交換することだってある（核子の場合だってそうだ）。だから、パイ中間子が２個あると、それらの間でもちゃんと核力がはたらくわけだ。

何をくどくど言っているのかと思われるだろう。これから考えてみたいのは、K中間子が２つのパイ中間子に壊れる過程だ。これは、ストレンジ・クォークが、弱い相互作用を通じてアップ・クォークとダウン・クォーク、反アップ・クォークの３つに分かれてしまったときに起こる複雑な過程で、その周囲にはいっぱいグルーオンがまとわりついている。こんなややこしい過程を計算する上で前提になるのは、そもそも出てきたパイ中間子２個の状態をちゃんと理解できることだ。両者のあいだには核力がはたらいている。この状態を格子QCDでシミュレーションするにはどうすればいいだろうか。

沈殿か、沸騰か

南部陽一郎は一般向けの著書『クォーク』のなかで自発的対称性の破れについて解説し、真空にクォークが沈殿する、と語った。（私の記憶に頼って書いているので要確認。）クォークがそこら中にたまっているのがこの宇宙の真空だという。真空という言葉がいけないのかもしれない。どうしてもなにもない空っぽというイメージをもってしまうが、そうではない。本当の問題は、あらゆる状態のなかでエネルギーが最低になるものはどれか、ということだ。エネルギーがそれ以上下がらないので、そこからはもうエネルギーをくみとることはできない。たとえそこにクォークが沈殿していたとしても。

前回まで話してきたことは、クォークの「沈殿」とはずいぶん話が違うようだ。グルーオンの背景場のなかには空間にからみついたものがあり（インスタントンと呼ばれる）、クォークはそこを通るときにはエネルギーのペナルティを払わなくてよい。そういうのが空間のいたるところにあると、クォークはインスタントンの島を渡りながら遠くまで飛ぶことができる。ただし、実際の粒子として遠くまで飛ぶ、つまり軽いものはパイ中間子だけで、他はそうはいかない。クォークと反クォークが別の島を探して飛び移る必要があるので、どうしてもペナルティを受け、遠くまで飛べない。つまり重くなってしまう。そういう話だった。空間にはインスタントンがいっぱい沸いては消える。どちらかというと沸騰しているかのようだ。

実は、この両者は同じことを表している。量子色力学（QCD）ではグルーオンの背景場が重要になるのだが、その効果をすべてならして（平均して）しまうと、クォークが沈殿しているという解釈もなりたつ。沸騰するグルーオン場の個別の様子が細かすぎて見えないほど遠くからみればそうなるということだ。こういう平均化の操作は、物理学ではしばしばあらわれる。すべてを細かくみなくても、全体をざっくりと見てまず理解するというのが有効だからだ。

さて、沸騰するグルーオン場の様子は、実のところ理論的に計算するのが非常に難しい。だから、ここまで話してきた解釈は、もっともらしい「お話」でしかなく、それで何かを計算できるわけではない。実際に計算するには数値シミュレーションが必要になる。それが格子QCDシミュレーションだ。シミュレーションをやってみると、グルーオンが沸騰するようすが確かに再現される。ただし、見つかったのは想定されていたようにきれいに巻きついたインスタントンではなく、もっとぐちゃぐちゃで、それでもよく調べてみると空間に巻きついているような何かだ。そういうのが空間を埋めつくす。沸騰といっても、相当温度が高くてぐらぐら煮えたぎった状態を想像してほしい。こうした「めちゃくちゃ」は実のところ必要なことでもある。クォークの閉じ込めはランダムなグルーオン背景場がもたらすという話を以前にしたことがある。 整然としたきれいなインスタントンだけではそうはならない。

シミュレーションを使えば、こうしためちゃくちゃに見えるグルーオン場のなかにどれだけ「巻きつき」が隠れているかを数え、その大きさを定量的に調べることもできる。この数が、自発的対称性の破れの大きさを与えることになる。こうして得られた結果は、さまざまな実験データから導かれる評価とよく一致している。現在ではむしろ、シミュレーションこそが量子色力学の真空の様子をもっとも正確に、精密に調べる手段になっている。いくら実験をくりかえしてもわからないことも、シミュレーションなら手に取るように調べることができるわけだ。

沸騰するグルーオン場の海を飄々とすりぬけていくクォーク。しかし決して単独であらわれることはない。その背景を想像していただけただろうか。

クォークのケン、ケン、パ！

週末に外を散歩していたら、道路にチョークで「ケン・ケン・パ」の丸がいくつも書いてあることがある。近頃は子供もオリジナリティを増していて、単なる丸ではなく、花や女の子など、いろんな絵がカラフルに描かれている。道路いっぱいに描かれた絵も時間が経って雨が降ると消えるのが残念だ。

クォーク場が拡がるとき、空間に巻きついたインスタントンに出会うと、すっと吸い込まれてスピンの向きを変えて出てくる。必要なエネルギーはゼロなので、何もロスなしに拡がることができる。そういう話だった。では、もしインスタントンがそこら中にいっぱいあったらどうなるだろうか？ クォークはインスタントンと反インスタントンがばらまかれた空間を、上手にインスタントンを渡り歩きながらどんどん遠くまでロスなしに伝わることができるだろう。遠くまで減衰することなく伝わる場。つまり、それに対応する粒子は軽いことを意味する。これこそが、クォークの立場で見た「パイ中間子が軽い理由」だ。

しかし、まだわからないことがある。なぜパイ中間子だけが軽いのか。クォークがインスタントンを渡り歩くだけなら、クォーク自体が軽く、それからできる中間子はすべて軽くならないとおかしい。この疑問に対する解答は、スピンにある。インスタントンを同時に通り抜けられるのは、クォークの種類１つにつき１個だけ。しかも、右巻きのクォークか左巻きの反クォークのどちらかだけが通ることができる。（反インスタントンはその逆。）つまり、クォークが通過中は同種類の反クォークが通ることはできない。かつ、クォークと反クォークでは受け付けるスピンの向きが逆であることに注意しよう。だから、一つのインスタントンを揃って通り抜けられるのは、例えば右巻きのアップ・クォークと左巻きのダウン・クォーク、ということになる。これはちょうど荷電パイ中間子に相当する。クォークと反クォークのスピンが逆向きになっているので、パイ中間子のスピンはゼロだ。この組み合わせなら、クォークと反クォークはそろってインスタントンの間をどこまでも飛び移っていくことができる。軽いパイ中間子のできあがり、ということになる。

もう一つ、ロー（ρ）中間子というのがある。これはスピン１をもつ中間子で、クォークと反クォークのスピンがそろっている。この場合、かわいそうにクォークと反クォークは同じインスタントンを経由することはできず、一度別れて別々のインスタントンと反インスタントンを探して通り、また出会う必要がある。これは中間子にとっては相当のペナルティになる。そういうわけで、ロー中間子はずいぶん重くなってしまうわけだ。

どうだろう。自発的対称性の破れの背後には、こういう仕組みが働いているらしい。これならクォークの気持ちになって理解できた気がしないだろうか。残る問題は、実際にこういうインスタントンはこんなふうに空間に散らばっているかどうか、ということになる。

何もない空間に巻きついて

グーグルで検索すればあらゆるものが見つかる。それは幻想だった。アティア・シンガーの指数定理。幾何と解析を結びつけたと言われる数学の超重要定理は、読んだだけでは何のことかさっぱりわからない。すぐにピンとくる直感的な説明がきっとどこかにあるかと思って探してみたが、全然見つからない。むしろ、想像もできないようなことが証明できてしまうところが数学のすごいところなのかもしれない。

グルーオン場は単なる波だけでなく、４次元空間に巻きついているものがある。一度巻きついたものは容易にはほどけない。ありうるのは逆向きに巻きついたものと出会って互いに消えるときだけだ。こういう巻きついたもののなかで一番単純なものがインスタントンと呼ばれる。実際にはそれだけでなく、広い空間には、巻きついたインスタントンがいくつも生まれ、逆向きに巻きついた反インスタントンもいくつもあり、さらにその周りはめちゃくちゃに揺らぐグルーオン場で満たされる。ランダムに揺らいでいると思っていたグルーオンの背景場には、ランダムなだけではない秘密があるのだ。 

こうして巻きついたグルーオン場があるとき、そこを飛ぶクォークには何が起こるか。それが問題だ。ここに、アティア・シンガーの指数定理が登場する。この定理が教えてくれるのは、巻きついたグルーオン場があると、そこには必ずエネルギーがゼロのクォーク場が存在するというものだ。山あり谷ありのグルーオン場の中を拡がるクォーク場は、普通なら何もない平坦な場所を進むより進みにくい、つまり余計なエネルギーを必要とするはずだ。ここに一つだけ例外があって、それが空間に巻きついた背景場というわけだ。クォークは、空間にできた渦の上では余計なエネルギーをつかうことなく存在できる。これが、軽いパイ中間子を生む秘密につながる。

もう少し詳しく話そう。クォーク場が拡がっていくときにインスタントンに出会ったとする。右巻きのスピンをもつクォーク場がインスタントンに出会うと、何しろエネルギーゼロなので簡単に吸い込まれて、なぜか左巻きスピンのクォークを吐き出す。右巻きを吸って左巻きを吐くという性質は、インスタントンの巻きつく向きによって変わる。つまり、反インスタントンなら左巻きを吸って右巻きを吐く。右巻きと左巻きを入れ替えるこの性質は、「カイラル対称性の破れ」と呼ばれる。クォーク場は、通常のグルーオン場の中を拡がっているときは右巻きは右巻きのまま、左巻きは左巻きのままだが、インスタントンがあるときだけスピンの向きを変えることができるわけだ。実は、これがクォークが質量をもつ仕組みなのだが、ここではパイ中間子が軽い理由を話すんだった。次回はそこに進もう。

トポロジカル ... ?

もう10年以上も前になるだろうか、ノーベル賞を期待されながら惜しくも亡くなられた外村彰先生が、日立製作所の中央研究所にセミナーに呼んでくださったことがある。量子色力学の数値シミュレーションでゲージ場の様子を調べるという研究をしていたので、もしかしたらご自分の研究と関係あるかもと思ってくださったのかもしれない。外村先生は電磁気学のベクトルポテンシャルが実在することを電子顕微鏡で実際に示す実験をなさった。量子色力学もゲージ理論という意味では親戚なので、同じことができるかもと思われたのかもしれない。残念ながらそうはいかなかった。

パイ中間子が軽いのは、自発的対称性の破れのせいだ。それはいい。でも、クォークの立場で見ると何がどうなっているのだろうか。クォークは、グルーオンがつくるでこぼこの地形のなかを拡がっていくという話をした。だから、クォークが軽くなったり重くなったりするのは、背景のグルーオン場に原因があるに違いない。ただし、軽くなるのはパイ中間子だけで、他の中間子や陽子・中性子は重いままだ。クォークにいたっては単独で出てこられないので軽いも重いもない。いったいどうなっているのか。これには実は深い話がある。それを説明するには、まずはグルーオンのつくるトポロジーの話をしないといけない。

これまで触れずにきたが、クォークは「色」という自由度をもっている。赤、青、緑を自由な濃さ（ただし複素数）で組み合わせることができる、ある種の3次元的な内部自由度をもっていると考えればよい。これに対応して、グルーオンはクォークの色を自由にかき混ぜる役割をもつ。グルーオン場の上をクォークが通り過ぎると、その色がかき混ぜられる。色の混ぜ方を一般的にあらわすと８つの自由度に相当する。だから、８つの連続的な自由度をもつ内部空間が、空間の各点ごとに隠れているというわけだ。しかもこの内部空間はまるで球面のように閉じた構造をもつ。球面は２次元だが、ここでは８次元あると想像してほしい。相当複雑だが、それでも球面のようなものを想像しておけばよい。

それがトポロジーとどう関係あるのか。８次元を同時に考えるとややこしいので、簡単な例で想像してみることにしよう。内部自由度が１次元で、それが閉じて円周になっている場合を考える。 こういうのが２次元平面にびっしりと敷かれていると考えよう。方位磁針を机の上に隙間なく並べたようなものだ。針の向きはてんでばらばらのときもあれば、みんなが同じ向きになることもあるだろう。実際には方位磁針は連続的に敷きつめられていて、隣の針から大きくずれることは許されないとしよう。そうすると針の動きが波のように平面を伝わっていくこともあるだろう。物性の世界ではこういうのをマグノンと呼んだりする。

ひとつのおもしろい可能性は、この平面の上から棒磁石のＳ極を近づけたときに起こる。赤い矢印は磁力を感じていっせいにこの磁石のほうを向き、全体を見ると針が放射状に分布するだろう。これはただの波ではない。どこが違うかを調べるために、棒磁石を近づけた場所を中心に、ぐるっと輪を描いて一周してみよう。針がどちらを向いているかを注意しながら一周すると、針の向きも一回転して元に戻ることがわかる。一方で棒磁石の周りを回らずに別の場所で一周しても、針の向きは一回転しないで元に戻る。中心があるかどうかはこうして調べることができる。こうしていったん中心ができてしまうと、針を連続的に動かしてこの一回転を取り消すことはできない。中心がある場合とない場合は、このように明確に区別される。こういうのを数学の言葉でトポロジカルに異なる、と言う。

話が長くなってしまった。グルーオン場に戻ろう。グルーオン場は８次元の自由度をもっている。住んでいる空間は４次元だ。この場合も、同じようにどこかに中心があるかのようなグルーオン場をつくることができる。これは単なる波ではない。どこかに中心があって決してほどけないような、トポロジカルなグルーオンだ。誰が呼んだか、こういうのをインスタントンと呼ぶ。日本語では「瞬間子」だろうか。中心があって、ある瞬間に生まれてまたすぐに消えるからそう呼ばれるのだろう。まるで一つの素粒子のような名前だが、決して実際に観測されることはない。

グルーオン場は単に波打っているだけでなく、このように空間に「巻きつく」こともある。だからどうしたと思われるだろう。それはまた次回にしよう。