トポロジカル ... ?

もう10年以上も前になるだろうか、ノーベル賞を期待されながら惜しくも亡くなられた外村彰先生が、日立製作所の中央研究所にセミナーに呼んでくださったことがある。量子色力学の数値シミュレーションでゲージ場の様子を調べるという研究をしていたので、もしかしたらご自分の研究と関係あるかもと思ってくださったのかもしれない。外村先生は電磁気学のベクトルポテンシャルが実在することを電子顕微鏡で実際に示す実験をなさった。量子色力学もゲージ理論という意味では親戚なので、同じことができるかもと思われたのかもしれない。残念ながらそうはいかなかった。

パイ中間子が軽いのは、自発的対称性の破れのせいだ。それはいい。でも、クォークの立場で見ると何がどうなっているのだろうか。クォークは、グルーオンがつくるでこぼこの地形のなかを拡がっていくという話をした。だから、クォークが軽くなったり重くなったりするのは、背景のグルーオン場に原因があるに違いない。ただし、軽くなるのはパイ中間子だけで、他の中間子や陽子・中性子は重いままだ。クォークにいたっては単独で出てこられないので軽いも重いもない。いったいどうなっているのか。これには実は深い話がある。それを説明するには、まずはグルーオンのつくるトポロジーの話をしないといけない。

これまで触れずにきたが、クォークは「色」という自由度をもっている。赤、青、緑を自由な濃さ（ただし複素数）で組み合わせることができる、ある種の3次元的な内部自由度をもっていると考えればよい。これに対応して、グルーオンはクォークの色を自由にかき混ぜる役割をもつ。グルーオン場の上をクォークが通り過ぎると、その色がかき混ぜられる。色の混ぜ方を一般的にあらわすと８つの自由度に相当する。だから、８つの連続的な自由度をもつ内部空間が、空間の各点ごとに隠れているというわけだ。しかもこの内部空間はまるで球面のように閉じた構造をもつ。球面は２次元だが、ここでは８次元あると想像してほしい。相当複雑だが、それでも球面のようなものを想像しておけばよい。

それがトポロジーとどう関係あるのか。８次元を同時に考えるとややこしいので、簡単な例で想像してみることにしよう。内部自由度が１次元で、それが閉じて円周になっている場合を考える。 こういうのが２次元平面にびっしりと敷かれていると考えよう。方位磁針を机の上に隙間なく並べたようなものだ。針の向きはてんでばらばらのときもあれば、みんなが同じ向きになることもあるだろう。実際には方位磁針は連続的に敷きつめられていて、隣の針から大きくずれることは許されないとしよう。そうすると針の動きが波のように平面を伝わっていくこともあるだろう。物性の世界ではこういうのをマグノンと呼んだりする。

ひとつのおもしろい可能性は、この平面の上から棒磁石のＳ極を近づけたときに起こる。赤い矢印は磁力を感じていっせいにこの磁石のほうを向き、全体を見ると針が放射状に分布するだろう。これはただの波ではない。どこが違うかを調べるために、棒磁石を近づけた場所を中心に、ぐるっと輪を描いて一周してみよう。針がどちらを向いているかを注意しながら一周すると、針の向きも一回転して元に戻ることがわかる。一方で棒磁石の周りを回らずに別の場所で一周しても、針の向きは一回転しないで元に戻る。中心があるかどうかはこうして調べることができる。こうしていったん中心ができてしまうと、針を連続的に動かしてこの一回転を取り消すことはできない。中心がある場合とない場合は、このように明確に区別される。こういうのを数学の言葉でトポロジカルに異なる、と言う。

話が長くなってしまった。グルーオン場に戻ろう。グルーオン場は８次元の自由度をもっている。住んでいる空間は４次元だ。この場合も、同じようにどこかに中心があるかのようなグルーオン場をつくることができる。これは単なる波ではない。どこかに中心があって決してほどけないような、トポロジカルなグルーオンだ。誰が呼んだか、こういうのをインスタントンと呼ぶ。日本語では「瞬間子」だろうか。中心があって、ある瞬間に生まれてまたすぐに消えるからそう呼ばれるのだろう。まるで一つの素粒子のような名前だが、決して実際に観測されることはない。

グルーオン場は単に波打っているだけでなく、このように空間に「巻きつく」こともある。だからどうしたと思われるだろう。それはまた次回にしよう。