U(1)問題の何が問題か？

だいぶ間があいてしまった。フレーバー１重項の話を始めてしまったのに U(1) 問題が出てこないのも変なのだが、ここで説明するのは相当やっかいな気がして思い切りがつかなかったせいだ。うまく説明できるか自信がないということは、自分の理解が中途半端なせいだろう。とは言え、始めてしまったことでもあるし、少し試みてみたい。

パイ中間子は、ほかのハドロンにくらべてずっと軽い。これは南部陽一郎の考えた「自発的対称性の破れ」によって説明される。アップとダウンという２つ（ストレンジも入れると３つ）の種類があるクォークを入れ替えても理論が変わらないという対称性（アイソスピンという。以前の記事を参照）があるのだが、真空がその一部を壊してしまうときに質量をもたない粒子が出てくる。それがパイ中間子というわけだ。この話はいろんなところで解説されている。クォークにいったい何が起こってパイ中間子が軽くなるのかは、もっと難しい話になるのだが、以前に説明してみたのでそちらを見てほしい。問題は、これだとパイ中間子だけではなく、η（エータ）中間子も軽くなってしまうことにある。（ストレンジ・クォークも加えて３つのクォークの対称性に拡張した場合はη’（エータ・プライム）中間子に相当する。）パイ中間子はアップ・クォークと反ダウン・クォークのように種類のちがうクォークでできているのに対して、エータ中間子はアップ・クォークと反アップ・クォーク、ダウン・クォークと反ダウン・クォークという同じ種類のクォーク・反クォーク対でできていて、しかもそれらが均等に混ざっている。このようにクォークの種類を入れ替えないときの対称性を「U(1)」と呼んでいる。真空がこのU(1)対称性を破るのにエータ中間子が軽くならないのはおかしいではないか、南部の理論と矛盾するではないか。この問題を称して「U(1)問題」という。

ところが、ほどなくこれは問題ではないということがわかった。なぜなら、あると思っていたU(1)対称性は、量子色力学のもつ量子異常という性質のおかげで実はそもそも壊れていることがわかったからだ。もともと壊れている対称性なら自発的に破れようもないので、南部の理論に抵触することもない。量子異常は、もともとの理論がもっているはずの対称性が量子化したときに壊れるという性質で、これ自体が奇妙なことだが、そういうものなので仕方がない。とにかく対称性は最初からなかった。だから、U(1)問題はそもそも問題ではない。

だったら話はそれで終わりではないか。それはそうなのだが、研究者というのは執念深い。おもしろそうな問題には誰もが惹かれ、深く考えてみたくなる。この問題がおもしろいのは、それが量子異常とつながっているからだ。そして量子異常はゲージ場のトポロジーと関係している。ゲージ場のトポロジーを担っているのはインスタントンというやつだ。だから、エータ中間子が重くなる背後にはインスタントンが関わっているに違いない。でもどんなふうに？ ここはもう一度仕切り直しして考えてみよう。