アノマリーとトポロジー、そして真空

アティア・シンガーの指数定理というのは、ゲージ場がもつ空間の巻きつき数（トポロジー）と、それを背景として存在するフェルミオンのゼロエネルギー波動関数の個数に関係がつくという奇想天外な数学的定理で、どうしてそんなことを思いついたのか見当もつかない。実際、数学の解説書をパラパラ眺めてみても、奇怪な言葉が並んでいるばかりでとても理解できそうもないので早々に退散した。物理学のほうで学ぶ場の量子論の教科書にもこの定理のことは必ず出てくるが、その証明やら導出やらが書かれたものにお目にかかったことがない。そこで、とりあえず結果だけを知ってわかったことにする。きっとこのあたりが平均的な物理学者の姿ではないだろうか。私の場合は、量子色力学のシミュレーションでこの定理の帰結を何度も確認してその度に感嘆したりしているので、平均より一歩進んでいると言えなくもない。全然自慢になってないが。

ゲージ場の量子論にはアノマリー（量子異常）という不思議な性質があって、普段は変わらないはずのフェルミオンの回転の向き（カイラリティとも呼ばれる）が、特殊な背景ゲージ場をもってくると変わりうるという話をした。前回のことだ。この「特殊な」というのがミソで、これがトポロジーと関係している。量子色力学では「空間に巻きつく」ようなグルーオン場が存在していて、それがパイ中間子が軽くなる仕組みと関係している、という話があったのを覚えておられるだろうか。実はこのときの「巻きついた」背景グルーオン場、これこそがアノマリーが関係する「特殊な」背景場に他ならない。こういうのをインスタントンと呼んでいて、ある大きさをもつボールのようなものだと想像してもらえればいいだろう。インスタントンは空間への巻きつき回数に応じて ±1, ±2 などと数えることができる。そういうのが量子論の原理に応じて空間中で生まれたり消えたりを繰り返している。

インスタントンが背景にいるとき、そこを走り抜けるクォークは回転の向きを変える。右巻きのクォークが左巻きに変わったりするわけだ。より正確に言うと、インスタントン背景場のもとでは、右巻きクォークが取りうる波動関数と左巻きの取りうる波動関数の数が一致しなくなる。右巻きと左巻きの数の差は、ちょうどインスタントンの巻きつき数と等しくなる。これがアティア・シンガーの指数定理だ。なぜそうなるのか、最初に白状したように、私は結局導出を理解できなかったのでここでその本質を語ることはできない。ただ、具体的な関数形を与えて計算してみることはできる。数学的な定理のえらいところは、こういう具体形を与えなくても「必ず」成り立つことを保証してくれることで、インスタントンがさらに量子ゆらぎが加わってめちゃくちゃになったようなグルーオン場であっても定理はそのまま成り立つ。だから絶対に正しいと安心していられるわけだ。

空間のあちこちで生まれては消えるインスタントン。それがあるたびにクォークは回転の向きを変える。これこそが、クォークが実質的に質量をもつことになる仕組みであり、同時にパイ中間子が逆に軽くなることの理由でもある。魔法のようなこの性質が、質量生成の仕組みの背後に隠れている。その中心にあるのがアノマリーと指数定理。高度に発達した数学によって自然界の、いや真空の仕組みが理解される。驚くべきことではないだろうか。

トポロジーといえば、トポロジカル絶縁体、あるいはトポロジカル物質、というのが物性方面では一つの流行になっていると聞く。全体としては絶縁体だが、その表面だけに金属のように電気を流すような電子状態が存在する。トポロジーと呼んでいるのは、３次元のかたまりの表面とか、２次元面のふちがつくる形に対応した状態ができるせいで、確かに連続変形によって変わらないというトポロジーの性質をもっている。ただ、私には量子色力学のもつ奥深さには到底及ばない気がする。まあ身びいきというものであろう。