スピン、アイソスピン。何それ？

量子力学を学ぶとき、角運動量やスピンのあたりは一つの壁になるのではないだろうか。交換関係というよくわからないものを追いかけていくと、いつのまにか角運動量が整数値だけ許されるという話になって、変な話だと思うまもなく今度は半整数、特に 1/2 の角運動量をもつ「スピン」というのが出てくる。数式を追うのに精一杯で全体像をつかむのはなかなか難しい。そうこうするうちに、級友が「群論」というものがあると教えてくれて、それを勉強すればすべてすっきり理解できるらしいとか余計なことを言い出す。それでは、というので数学科の群論の講義に潜り込んで勉強しようかと思ったら、たいくつな定理と証明ばかりでいつまでたっても回転群は出てこない。おかげでもやもやしたまま。こういう状況がいまも同じなのかどうかは知らない。最近の教科書には群論の必要なことだけが要領良くまとまっているのかもしれない。

さまざまな角運動量の状態は、空間がもつ回転対称性を満たすような波動関数の取りうるいろんな可能性をあらわしている。ある軸のまわりに一周回ったら元にもどらないといけないが、そうなるような関数はいろいろあって、一番簡単なのはずっと定数のもの。次に簡単なのは一周回る間に複素位相が一回転するもの、次は二回転、といった具合だ。こういうのは別の状態と考えるのが便利だし、実際にも別々のエネルギーをもつ異なる状態になっていることが多い。

さて、角運動量の話をしてきたが、ここで考えたいのは実は角運動量ではない。「アイソスピン」という、核子や中間子、原子核を区別するラベルについてだ。アイソ (iso-) というのは、「同一」という意味の接頭辞で、ここでは陽子と中性子がほとんど同じに見える、ということを意味している。陽子はプラス１の電荷をもち中性子は電荷ゼロなので、両者は全然違うものに見えるが、電荷を除く他の性質は驚くほど似ている。質量は、ある単位で９３８と９４０。0.2% しか違わない。それぞれ強い力を感じるのだが、その強さもほぼ同じだ。これだけ似ているということは、自然界がある対称性をもっているに違いない。陽子と中性子を入れ替える対称性ということになるが、実際にはそれらを中途半端に混ぜる変換も許されるような連続的な対称性だ。この対称性がたまたま空間の回転対称性と同じだったので、そこで使われている分類法を使おう、ということになったのがアイソ「スピン」の意味するところだ。だから、くるくる回るスピンとは何の関係もない。

陽子と中性子をつくっているクォークの言葉で言うと、アイソスピンの対称性は、アップ・クォークとダウン・クォークを入れ替える対称性に相当する。アップとダウンの名前の由来がわかっていただけただろうか。そう、アップ・クォークはアイソスピンが「上向き」を持つクォーク、ダウン・クォークは「下向き」を意味する。上向きと下向きという２成分だけをもつ状態はスピン 1/2 の状態なので、クォークはアイソスピン 1/2 の状態で、アップとダウンは、その上成分(+1/2)と下成分(-1/2)を表しているということになる。これらの組み合わせでできているのが陽子と中性子で、陽子はアップ２個とダウン１個なので、アイソスピンは +1/2、中性子は、アップ１個とダウン２個なので、アイソスピンは -1/2 だ。

アイソスピンは、単に分類の道具にすぎないが、便利な道具でもある。クォーク１つと反クォーク１つで作られる中間子の場合は、アイソスピンが０になるものと１になるものがある。1/2 と 1/2 を組み合わせるとできるのが 0 か 1 だからだ。パイ中間子は、アイソスピン１をもち、その成分には +1, 0, -1 がある。これらが、それぞれパイ"＋"、パイ"０"、パイ"ー" という粒子に相当する。そして、エータ・プライム（η’）中間子は、アイソスピンがゼロの別の粒子、ということになる。